Length contraction특수 상대성 이론에서 도출되는 현상 중 하나로, 간단히 말해 관측자의 입장에서 등속운동하는 대상의 길이가 줄어드는 것으로 관측되는 현상이다.
시간 지연과 밀접한 관계에 있는 현상이 길이 수축이다. 이는 시간 지연이 일어나면 필연적으로 따라오는 현상이다.
고유 길이가 [math(L')]인 어떠한 관성계에 대하여 [math(v)]의 속력으로 움직이는 물체의 길이는 해당 관성계에서
[math(\displaystyle \begin{aligned} L&=L' \sqrt{1-\left(\frac{v}{c} \right)^2 }\&=\frac{L'}{\gamma} \end{aligned} )]
로 관측된다. [math(\gamma)]는
로런츠 인자이다.
1887년
마이컬슨-몰리 실험이 알려지고 난 뒤 1889년 조지 피츠 피츠제럴드는
마이컬슨-몰리 실험 결과를 해석하기 위해 길이가 수축한다는 가설을 제안한다. 헨드릭 안톤 로런츠도 1892년 독립적으로 비슷한 제안을 한다. 이들의 가설은
로런츠-피츠제럴드 수축이라는 이름으로 알려지게 된다. 1905년 아인슈타인은 역학적인 관점에서
뉴턴 역학과
맥스웰 방정식의 모순 문제를 짚어내며 그에 대한 해결책으로 길이 수축을 재해석하였다.
1938년
아이브스-스틸웰 실험을 통해 길이 수축은 실험적으로 검증된다.
3.1. 광속 불변의 원리를 이용한 설명[편집]
어떤 관성계를 기준으로 [math(v)]의 속력으로 등속 직선 운동하는 상자를 고려하자. 이 상자의 길이는 상자와 같이 움직이는 좌표계에서 측정했을 때, [math(L')]이고, 해당 관성계에서 측정했을 때, [math(L)]이다.
시간 지연 문서에 나온 사고 실험을 쓸 것이나, 이번에는 레이저와 거울을 각각 왼쪽 벽과 오른쪽 벽에 운동방향과 수직으로 설치한다. 마찬가지로 레이저에서 광자 1개 정도가 나가는 펄스를 방사한다.
상자 내부에 있는 관찰자는 (가)와 같은 상황을 관측하게 된다. 이때, 빛이 레이저를 떠나 거울을 지난뒤 다시 레이저까지 오는데 걸린 시간은
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T'=\frac{2L'}{c} \end{aligned} )]
이번에는 상자 외부에 있는 관찰자는 (나)와 같은 상황을 관측하게 된다. 이때는 계산해야 할 시간을 두 부분 [math(T_{1})], [math(T_{2})]로 나누고, 이를 각각 레이저에서 거울까지 가는데 걸린 시간, 거울에서 반사돼 레이저까지 되돌아가는데 걸린 시간으로 정의한다. 상자는 빛이 이동 중에도 계속 이동하고 있음을 유의하면
[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{1}=\frac{L+vT_{1}}{c} \quad \to \quad T_{1}=\frac{L}{c-v} \end{aligned} )]
빛이 반사되어 되돌아가는 시간에도 상자는 이동 중이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} T_{2}=\frac{L-vT_{2}}{c} \quad \to \quad T_{2}=\frac{L}{c+v} \end{aligned} )]
이 좌표계에서 관측한 레이저까지 다시 빛이 돌아오는 데 걸린 시간은 [math(T_{1}+T_{2})]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T&=\frac{2Lc}{c^2-v^2}\\&=\frac{1}{1-\left(\dfrac{v}{c} \right)^2} \frac{2L}{c}\\ &=\gamma^2 \cdot \frac{2L}{c} \end{aligned} )]
한편,
시간 지연에 따라 [math(\Delta T=\gamma \Delta T')]이므로
[math(\displaystyle \begin{aligned} \Delta T'=\gamma \cdot \frac{2L}{c} \end{aligned} )]
한편, [math(\Delta T'=2L'/c)]임에 따라 이것을 대입하고, 상수인 광속을 약분시키면 다음을 얻는다.
[math(\displaystyle \begin{aligned} L=\frac{L'}{\gamma} \end{aligned} )]
이 식으로부터 빠르게 움직이는 물체는 정지 길이보다 짧게 측정된다는 것을 알 수 있다. 물론 광속보다 대단히 느린 물체에 대한 길이 수축 효과는 대단히 작다. 예를 들어 순간적으로 [math(35\,{\rm km/h})]에 이르는
부르즈 할리파의 초고속 엘리베이터에 탄 키 [math(180\,{\rm cm})]인 사람은 밖에서 보기에 [math(9.465 \times 10^{-14}\,{\rm cm})]가 줄어드는 정도의 효과 밖에 없다. 이는 양성자 하나 크기 정도에 불과하다.
길이는 동시에 측정되는 것이므로 어떠한 관성계 [math(\mathcal{O})]에 대하여 [math(v)]의 속력으로 움직이는 관성계 [math(\mathcal{O}')]에서 두 사건 [math({\rm P}(ct_{0}',\,x_{\rm P}'))], [math({\rm Q}(ct_{0}',\,x_{\rm Q}'))]를 고려한다. 이때, [math(L'=x_{\rm Q}'-x_{\rm P}')]가 고유 길이가 된다.
한편, [math(\mathcal{O})] 또한 관측하는 길이는
[math(\displaystyle \begin{aligned} L=x_{\rm Q}-x_{\rm P} \end{aligned} )]
를 관측하게 될 것이다. 각각을 로런츠 역변환하면,
[math(\displaystyle \begin{aligned} L&=\gamma [(x_{\rm Q}'+vt_{0}' )-(x_{\rm P}'+vt_{0}' ) ] \\&= \gamma(x_{\rm Q}'-x_{\rm P}') \\ &=\gamma L' \\ \\ \therefore L&=\frac{L'}{\gamma} \end{aligned} )]
이것을
민코프스키 다이어그램으로 나타내면 아래와 같다.
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